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Na mecânica as grandezas primitivas ou fundamentais são:

Massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Por isso, para representar o Sistema Internacional de unidades, por exemplo, basta escrevermos (m, k, s), onde o m corresponde ao metro (dimensão de comprimento L), o kg corresponde ao quilograma (dimensão de massa M) e o s corresponde ao segundo (dimensão de tempo T). Existem também outros  sistemas, como o sistema (c, g, s).

Podemos expressar uma grandeza física em função das grandezas fundamentais. Para indicar que se trata de uma equação dimensional, indicaremos a grandeza G entre colchetes:

Os números a, b e c são chamados de dimensões da grandeza G. Dizemos então que a grandeza G possui dimensão a em relação à massa M, dimensão b em relação ao comprimento L e dimensão c em relação ao tempo T.

Vamos agora determinar a fórmula dimensional das principais grandezas da mecânica:

Velocidade

A grandeza velocidade não possui dimensão de massa M. Possui uma dimensão de comprimento L dividido por uma dimensão de tempo T. Portanto sua equação dimensional será: M⁰L¹T^-1.

v = Δv/Δt    (m/s)

(onde a notação v representa os colchetes da fórmula dimensional)

v = (L)/(T)

v = M⁰ . L . T^-1

Aceleração

A grandeza aceleração também não possui dimensão de massa M. É uma velocidade (M⁰L¹T^-1) dividida por uma dimensão de tempo T. O que resulta na equação dimensional : M⁰L¹T^-2, como pode ser visto abaixo:

a = Δv/Δt   (m/s²)

(onde a notação a representa os colchetes da fórmula dimensional)

a = (L)/(T²)

a = M⁰ . L . T^-2

Força

Para chegar à equação dimensional da força eu usei a 2ª lei de Newton, que relaciona a força com massa e aceleração. Perceba que a equação dimensional da força nada mais é do que a equação dimensional da aceleração M⁰L¹T^-2 acrescida de uma dimensão de massa M. Confira abaixo:

F = m . a     (Newton)

(onde a notação F representa os colchetes da fórmula dimensional)

F = (M) x (M⁰ . L . T^-2)

F = M . L . T^-2

Quantidade de movimento

A quantidade de movimento Q = m . v, é a equação de velocidade acrescida de uma dimensão de massa M:

Q = m . v   (kg . m/s)

(onde a notação Q representa os colchetes da fórmula dimensional)

Q = (M) x (M⁰ . L . T^-1)

Q = M . L . T^-1

Impulso

O Impulso de uma força I = F . Δt, é a força multiplicada por uma dimensão de tempo. Nós já vimos acima a equação dimensional da força M⁰L¹T^-2. Ao multiplicarmos por uma dimensão de tempo resultará em:

I = F . Δt  (N . s)

(onde a notação I representa os colchetes da fórmula dimensional)

I = (M . L . T^-2) x (T)

I = M . L . T^-1

É muito importante perceber que o impulso de uma força e a quantidade de movimento são dimensionalmente equivalentes. O que justifica a igualdade do teorema do Impulso I = ΔQ onde o impulso é igual a variação da quantidade de movimento. A igualdade não seria válida se não houvesse a homogeneidade dimensional.

Agora preste muita atenção nas fórmulas dimensionais da energia potencial gravitacional, energia cinética, energia potencial elástica e do trabalho mecânico:

Energia Potencial Gravitacional

Epg = m . g . h  (Joule)

(onde a notação Epg representa os colchetes da fórmula dimensional)

Epg = (M) x (L . T^-2) x (L) .

Epg = M . L² . T^-2

Energia Cinética

Ec = (m . v²)/2  (Joule)

(onde a notação Ec representa os colchetes da fórmula dimensional)

Ec = (M) . (L . T^-1)²

Ec = M . L² . T^-2

Energia Potencial Elástica

Onde temos a constante elástica K, cuja unidade no S.I. é o N/m, o que dimensionalmente dá (M .L⁰ . T^-2).

Epel = (k . x²)/2  (Joule)

(onde a notação Epel representa os colchetes da fórmula dimensional)

Epel = (M . L⁰ . T^-2) x (L²)

Epel = M . L² . T^-2

Trabalho Mecânico

É amigo(a), trabalho é foda! E a unidade de trabalho é o Joule que é uma unidade de energia. Existem teoremas na física que relacionam o trabalho mecânico realizado sobre um corpo às variações de energia experimentadas por ele. Energia não se perde nem se cria … E o trabalho é uma forma de corpos trocarem energia entre si.

W = F . d (Joule)

(onde a notação W representa os colchetes da fórmula dimensional)

W = (M . L . T^-2) x (L)

W = M . L² . T^-2

Como não poderia deixar de ser, a Epg, a Ec, a Epel e o W também são dimensionalmente equivalentes. Justificando a conservação da energia mecânica, onde uma forma de energia pode se transformar em outra, e justificando também o teorema do trabalho W = ΔE .

A análise dimensional é um poderoso instrumento na verificação da validade de equações e na previsão de fórmulas físicas.

Espero que essa aula seja útil e qualquer dúvida, deixe um comentário que ele será prontamente respondido. Um abraço e até a próxima.

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